Математика
Тестирование онлайн
Потерянные и посторонние корни
К потере корней может привести сокращение обеих частей уравнения на общий множитель.
Посторонние корни могут появится при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное.
При возведении обеих частей уравнения в квадрат (или любую четную степень) могут появляться посторонние корни.
Посторонние корни могут появляться при решении иррационального уравнения, поэтому лучше выполнять проверку.
Метод замены переменной
В ряде случаев решение уравнения можно упростить введением новой переменной (нового неизвестного).
Например, уравнение вида
где a, b, c - числа, называется биквадратным. Решается введением замены x2=t
Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.
Сложные замены переменной
Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.
Очень сложные замены переменной
Графический способ решения уравнений
Графический способ решения уравнений f(x)=g(x) заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций y=f(x) и y=g(x) и находят абсциссы точек пересечения графиков. Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями уравнения.
Уравнения вида a4+b4=(a+b)4
Преобразуем выражение a4+b4=(a+b)4:
Метод на основе использования монотонности функций
При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.
Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.
Уравнения вида f(f(x))=x
Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) - некоторая функция:
1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;
2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на этом множестве.
Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.
Метод тригонометрической подстановки*
Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное - конечное.
Метод на основе использования численных неравенств*
Неравенство Коши.
Неравенство Бернулли.
Равенство достигается при x=0 или n=1.
Неравенство Коши-Буняковского.
Равенство достигается в том и только в том случае, когда существует положительная константа a такая, что x1=ay1, x2=ay2,...,xn=ayn.
Метод решения функциональных уравнений*
Решение уравнения вида
Если - строго монотонная функция на отрезке , то уравнение равносильно уравнению для .
Решение уравнения вида
Если - строго монотонная функция, то уравнение равносильно уравнению на области допустимых значений уравнения.
Если - строго монотонная и при этом является четной, то уравнение равносильно двум уравнениям на области допустимых значений уравнения.
Решение уравнения вида
сводится к решению уравнения вида , если функция является нечетной.