Математика

Преобразуем выражение a⁴+b⁴=(a+b)⁴:

При решении уравнения f(x)=g(x) можно исследовать функции y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если одна из этих функций на промежутке монотонно убывает, а другая функция монотонно возрастает, то уравнение или имеет один корень, или вообще не имеет корней. Корень уравнения можно найти методом подбора или графическим методом.

Если функция y=f(x) возрастает, а y=g(x) убывает на промежутке , и при этом f(a)>g(a), то корней нет.

Примеры уравнений вида f(f(x))=x, где f(x) - некоторая функция:

1. Любой корень уравнения f(x)=x является корнем уравнения f(f(x))=x;
2. Если функция f(x) возрастает на некотором множестве и значения x и значения функции f(x) принадлежат этому множеству, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны на этом множестве.

Для убывающей функции f(x) правило 2 применить нельзя.

Суть метода состоит в замене переменной х тригонометрической функцией, например . Решение исходного уравнения сводится к решению тригонометрического уравнения. Но тригонометрическое уравнение обычно имеет бесконечное множество решений, а исходное - конечное.

Неравенство Коши.

Неравенство Бернулли.

Равенство достигается при x=0 или n=1.

Неравенство Коши-Буняковского.

Равенство достигается в том и только в том случае, когда существует положительная константа a такая, что x₁=ay₁, x₂=ay₂,...,x_n=ay_n.

Решение уравнения вида

Если - строго монотонная функция на отрезке , то уравнение равносильно уравнению для .

Решение уравнения вида

Если - строго монотонная функция, то уравнение равносильно уравнению на области допустимых значений уравнения.

Если - строго монотонная и при этом является четной, то уравнение равносильно двум уравнениям на области допустимых значений уравнения.

Решение уравнения вида

сводится к решению уравнения вида , если функция является нечетной.