Математика
Тестирование онлайн
Деление
Представим деление в буквенном виде a:b=с. Число a - делимое (или кратное) числа b, число b - делитель числа а, число с - частное чисел а и b.
Деление - это обратное умножению математическое действие. Если сb=а.
Простые и составные числа
Число называется простым, если его делителями (деление без остатка) являются только единица и само это число. Например, 2, 3, 5, 13, 29 и др.
Число, имеющее более двух делителей (кроме 1 и самого числа), называется составным. Например, 4, 6, 15 и др.
Само число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.
Теорема арифметики: любое составное натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Например, Говорят, что число 12 разложено на простые множители.
Признаки делимости чисел
На 2 делятся числа, оканчивающиеся нулем или четной цифрой. Например, 526, 1002, 600.
На 5 делятся числа, оканчивающиеся нулем или цифрой 5. Например, 1005, 200.
На 4 (или 25) делятся только те числа, у которых две последние цифры - нули или выражают число, делящееся на 4 (или 25). Например, 700, 216, 4325.
На 3 (на 9) делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (на 9). Например, 171 (1+7+1=9), 837 (8+3+7=18)
На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем. Например, 1020, 50, 400.
Признак делимости суммы: если каждое из слагаемых a и b делится на некоторое число c, то и сумма a+b делится на это число c.
Наибольший общий делитель
Наибольшее из натуральных чисел, на которое делятся числа a и b.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно:
1) разложить эти числа на простые множители;
2) подчеркнуть в этих разложениях все общие множители;
3) вычислить подчеркнутое произведение
Например, найти НОД(385; 1694)
Два числа, НОД которых равен 1, называют взаимно простыми. Например, 15 и 22 - взаимно простые числа.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее из натуральных чисел, которое делится на числа a и b.
Чтобы найти НОК нескольких чисел, можно:
1) Разложить эти числа на простые множители;
2) выписать разложение первого числа;
3) дополнить его недостающими множителями второго числа, третьего и т.д.;
4) вычислить полученное произведение.
Например, найти НОК(24; 180; 14)

НОК двух простых чисел равно их произведению. Например, НОК(3;7)=21
Взаимосвязь НОД и НОК
Произведение двух чисел a и b равно произведению НОД(a; b) и НОК(a; b)

Тайна простых чисел
"Science", 2003
Простые числа - это такие, которые делятся только на единицу и самих себя, и еще Евклид доказал, что их множество неограниченно; любое натуральное число может быть представлено как произведение простых. До сих пор не найдено формулы, описывающей все простые числа, и нет явных признаков, позволяющих с ходу отличить их. Поэтому такие числа приходится выявлять, проводя огромные вычисления.
В 1876 году было обнаружено очень большое простое число (2127-1), состоящее из 39 цифр, и только в 50-х годах 20 века удалось побить этот рекорд. К 80-м годам уже были найдены первые 50 миллионов таких чисел. Самые большие из них содержали десятки тысяч цифр.
Распределение простых чисел нерегулярно - то они идут кучно (101, 103, 107, 109), то между ними большие пробелы (113 и 127); тем не менее их появление подчиняется четким статистическим закономерностям. Немецкий математик Д. Цагир писал: "Простые числа - самые капризные и упрямые из всех математических объектов. Они растут среди натуральных чисел как сорная трава, не подчиняясь, кажется, ничему, кроме случая, и никто не может предсказать, где взойдет следующее. Другой факт озадачивает еще больше, так как он состоит в прямо противоположном утверждении: эти числа демонстрируют удивительную регулярность, они с педантичной точностью следуют определенным законам". В этой двойственной природе простых чисел заключена, по выражению Цагира, "непостижимая тайна творения".
Если ввести функцию f(x) - количество простых чисел, меньших x, то, как эмпирически обнаружил еще К.Гаусс, причем в пятнадцатилетнем возрасте, асимптотически (при неограниченном росте x) она ведет себя как x/lnx; затем эту формулу уточнили другие ученые. Простыми числами занимались многие знаменитые математики, например П.Ферма, Р.Декарт, Л.Эйлер, А.Лижандр, Л.Дирихле. Сейчас их изучение составляет обширную область высшей арифметики.
Чем дальше по числовой оси, тем реже в среднем встречаются простые числа, то есть расстояния между ними растут, когда сами эти числа растут. Это в среднем, а отдельные их представители могут вести себя совсем иначе. Так, среди них есть пары, отличающиеся всего на два: 29 и 31, 69 и 71, 101 и 103, 107 и 109 - их называют близнецами. Одна из важнейших нерешенных проблем: конечно или бесконечно множество близнецов? Далее, для любого интервала всегда найдутся два соседних простых числа, разность между которыми больше его.
Основатель петербургской школы теории чисел П.Л.Чебышев в 1852 году доказал, что для каждого натурального числа N в интервале от N до 2N обязательно лежит простое число. Однако, учитывая нерегулярность в их появлении, можно было предположить, что бывают случаи, когда этот интервал много меньше (крайний случай - у близнецов). Сначала было доказано, что интервал равен lnN, в 1956 году - что вдвое меньший интервал. И вот новый прорыв: американец Д.Голдстон и турок К.Илдирим еще более сузили этот интервал, хотя и не довели его до двух, то есть проблема близнецов пока устояла. Кроме того, они показали, что нет верхнего предела количества простых чисел, которые могут попасть в один такой интервал.